このケースは良くあるようでメモリーバックアップ用コイン電池(CR2013)の消耗による結果です
しかしこれはパソコンの設計不良ですねPC007

ACアダプターを差し込まずにノートパソコンを放置しておくと
ノートパソコンは時計やメモリーバックアップのために内蔵コイン電池を消費します
この結果、内蔵電池がACアダプターを差し込んでおいたパソコンより早く消耗してしまいます

通常であれば日付が初期値に戻ってしまうだけで起動しなくなることはあり得ないのですがね…

ただしこの電池交換のためのノートパソコン分解はかなり煩雑、
英文ですがこちらにサービスマニュアルが掲載されています
ServiceManual
外資系パソコンはマニュアルが充実しているのがいいですね
ftp://ftp.dell.com/Manuals/all-products/esuprt_laptop/esuprt_inspiron_laptop/inspiron-1526_service%20manual_en-us.pdf

実際には
電源パネルとキーボードを外し?PC008

パームレストを外しPC021

基板を外してPC017

基板を裏返した所に問題のバックアップ電池がありますPC024

電圧を測ってみると1.413VPC022

公称電圧は3Vなので、これでは全くだめですね

ヒートランを兼ねてDELL Diag実施中PC039問題なく起動するようになりました